CHAPITRE 2 – DIGITALISATION

 

2-1 ÉCHANTILLONNAGE = Digitalisation en fonction du Temps

. Amplificateur échantillonne et mémorise, ou traque et mémorise

. Échantillonne le signal analogique en durée et mémorise sa valeur

. Fréquence d’échantillonnage : Fs = 1/T ( Hz ou échantillons/seconde )

. Période d’échantillonnage : T ( seconde )

. Ambiguïté de l’échantillonnage

- Que se passe t’il entre 2 instantanés ?                                           

- Comment peut-on se fier au processus d’échantillonnage ? 

                                                                                                          

 

. Théorème d’échantillonnage : Fs > 2fm <----> fm < Fs/2 ( Théorème de Nyquist )

Exemple 1 : Fs = 8 kHz, Fs/2 = 4 kHz

Fa = 1 kHz < 4 kHz . fd = 1 kHz

Fa = 2 khz < 4 khz . fd = 2 khz

Fa = 6 khz > 4 khz . fd = -2 khz = 6 khz – Fs

Fa = 7 khz > 4 khz . fd = -1 khz = 7 khz – Fs

Fa = 9 khz > 4 khz . fd = 1khz = 9 khz – Fs

Fa = 10 khz > 4 khz . fd = 2 khz = 10 khz – Fs

MOD Fs Sin [ 2p ( Fs ± f ) Tn ] = Sin ( 2p Fs Tn + 2p f Tn ± 2p f Tn )

= Sin ( ( 2p Fs / Fs ) n ± 2p f Tn )

fd = fa MOD Fs

avec : fd = Fréquence digitale

fa = Fréquence analogique

Fs = Fréquence d’échantillonnage

0 = 8 MOD 8

1 = 9 MOD 8

2 = 10 MOD 8

2-2 SPECTRE PÉRIODIQUE = ALIAS si fa > Fs / 2

                           

- Si on ne veut pas Aliaser, on doit garantir que fa < Fs / 2

- Utiliser un Filtre analogique anti-alias ( AAAF ) pour éliminer tout fa > Fs / 2

SPECTRE PERIODIQUE

 

2-3 ALIAS AUTORISES - AAAFL

 L’atténuation hors-bande AAAF ( dB ) se réfère à la gamme dynamique du signal. En audioHi-Fi, cette dernière peut atteindre 100 dB. Une AAAF à pente raide nécessite des circuits analogiques complexes, que l’on peut réduire en utilisant la règle de calcul autorisant les alias.

Dans le cas des alias interdits, les fréquences de coupure du filtre anti-alias sont fm( fréquence maximum d’intérêt analogique ) et 0.5 Fs.  Le signal analogique ne devra avoir aucun contenu significatif supérieur à la fréquence de Nyquist ( 0.5 Fs ), et ainsi n’autoriser aucun alias.  Le calcul avec les alias autorisés permet un AAAF plus simple.  

Ici la fréquence  de coupure est la même que ci-dessus, mais la fréquence de la bande atténuée est étendue à Fs – fm.   Le résultat sera un filtre analogique à pente moins raide, nécessitant moins de composants et de complexité, et ayant moins de distorsion de phase.

Bien sur on aura des Alias, une atténuation insuffisante signifie que quelques composantes situées au-dessus de la fréquence de Nyquist ( 0.5 Fs ) passeront au travers du filtre anti-alias, et se retrouveront après échantillonnage comme des fréquences aliasées en dessous de 0.5 Fs. Mais ces alias devront être à l’extérieur de la bande passante du signal ( au dessus de fm ) et pourront ainsi être éliminés par un filtre digital.

        Echantillonnage et AAAF – Règle générale :

Trouver le contenu fréquentiel maximum de votre signal, fm.     

  Le critère de Nyquist est le rapport minimum d’échantillonnage, 2fm.                                                                                                   

  Prendre un rapport d’échantillonnage supérieur au critère de                                                                                                                      

  Nyquist, c’est à dire :     Fs = 2f + 20%                                                                                                                                                            

                              Calculer un AAAF avec les fréquences de transition suivantes :                                 

                              Passer de 0 à fm avec un gain constant = 1                                                                                 

                              Le gain constant est-il vraiment constant ? 

                              Définir l’ondulation en Bande-passante.                                                                  

Fréquence d’arrêt = Fréquence de Nyquist
Combien de dB d’atténuation ? Ondulation en Bande atténuée

                                                                       

Exercice 1 : Un Signal audio hi-fi a une Bande-passante de 20 Khz ( fm = 20 Khz ).

A – Quel est la vitesse d’échantillonnage selon le Critère de Nyquist pour l’audio numérique ?

2fm = 2 x ( 20 Khz ) = 40 Khz

B – Définir une vitesse d’échantillonnage plus pratique Fs ?

Une vitesse d’échantillonnage de 40 Khz n’est pas pratique, car elle nécessite un AAAF avec une pente de transition raide comme ‘ un mur de briques ’ ! Une valeur plus pratique est Nyquist + 20%., soit : Fs = ( 40 Khz ) x 1.2 = 48 Khz

C - Quel est la fréquence de Nyquist ?

Fs / 2 = 48 Khz / 2 = 24 Khz

D – Trouver les Fréquences de Transition pour l’AAAF ( Alias Interdits ) ?   Les fréquences de transition pour le Filtre Analogique Anti-alias ( AAAF ) sont : 20 Khz et 24 Khz

2-4 VARIATIONS D’ECHANTILLONNAGE

- Echantillonnage Fs = 0 ( 2fm )

- Instrumentation Fs = 0 ( 4fm )

- Suréchantillonnage Fs » 0 ( 2fm )

- Souséchantillonnage Fs « 0 ( 2fm )

SURECHANTILLONNAGE ( Oversampling ) : Fs = R [ 0 ( 2fm ) ], R = 2, 4,…

Simplifie l’AAAF en étendant la Fréquence de Nyquist.

SOUS -ECHANTILLONNAGE ( Undersampling ) : Fs « [ 0 ( 2fm ) ]

Echantillonnage en Bande-passante . Echantillonnage en FI . Subsampling

Echantillonnage d’enveloppe . Echantillonnage en Bande étroite

Signaux en Bande-passante échantillonnés à Fs = 0 ( 2Bw ) au lieu de 0 ( 2fm )

Souséchantillonner les Signaux en Bande-passante = DSP et CAN plus réduits

S / H rapides. Filtre passe-bande pour l’AAAF.

Exemple de Souséchantillonnage :

Cela signifie t’il que n’importe quelle Fs > 20 Khz puisse faire l’affaire ?

NON ! Quelques unes le peuvent, d’autres ne le peuvent pas.

 

Règle générale du Souséchantillonnage :

La Bande-passante est contenue à l’intérieur de 2 multiples consécutifs de Fs/2.

K x Fs / 2 < fL < fH < ( k + 1 ) x Fs / 2

 

ÉCHANTILLONNAGE EN QUADRATURE

Conversion Réel vers Complexe

Échantillonnage Multicanaux

Le Partage ‘ In-Phase Quadrature ’ permet l’échantillonnage à Fs > 0 (fm)

2.5 SYSTÈME A DSP

AAAF suivant le Convertisseur Digital-analogique ( DAC ) pour reconstruire le signal de Sortie.

Filtre de Reconstruction . Filtre PCM . Filtre Anti-Image .

Communication entre Convertisseur Analogique-digital ( ADC ) et Digital-analogique ( DAC ) réalisée par des Entrées-Sorties Série synchrones.

2.6 RECONSTRUCTION

Théorème d’échantillonnage de Shannon

Reconstruction d’un Signal Parfait avec un filtre passe-bas parfait

Interpolation limitée en Bande

CODEC = Codeur + Décodeur dans le même boîtier.

Reconstruction Parfaite :Fs = 8 Khz, f = 1 Khz

Reconstruction Parfaite :Fs = 8 Khz, f = 3 Khz

2.7 INTERPOLATION EN BANDE LIMITEE

Un signal analogique x ( f ) avec un contenu fréquentiel maximum fm est échantillonné à une vitesse Nyquist de Fs = 2 fm

Cela revient à multiplier le Signal Analogique par un Train d’Impulsions.

 

La reconstruction parfaite en bande limitée nécessite un filtre analogique parfait, dont la pente est comme ‘ un mur de briques ’.

Avec la réponse en fréquence suivante H ( f ) :

La réponse impulsionnelle du filtre H (f ) sera la Transformée de Fourier inverse de H (f ).

 

 

 

 

 

 

 

 

Le signal discret x ( nT ) sera filtré par h ( f ) pour générer la sortie y ( f )

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